Читаю избранное своего ЖЖ и в предвкушении поржать над постами А. Лебедева натыкаюсь на историю черепахи и Ахиллеса. Читаю вику. Выпадаю в осадок.
Я не математического склада ума.


"Ахилле́с и черепа́ха — одна из апорий Зенона.

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась на некотором расстоянии от него.

Допустим Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха отползёт на 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё на 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Допустим Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит 2 километра, черепаха отползет только на 200 метров, следовательно Ахиллес уже будет впереди черепахи на 800 метров.

это ест мой мозг. Тоже.Математическое описание

Действительно, пусть начальное расстояние есть a и пусть Ахиллес всегда бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пробежит расстояние a, черепаха отползёт на a/k, когда Ахиллес пройдёт это расстояние, черепаха отползёт на a/k²? и т. д., то есть всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.

В этой апории, помимо затруднения отсчитанной бесконечности, имеется и ещё одно. Предположим, что в некоторый момент времени tw Ахиллес догонит черепаху. Запишем путь Ахиллеса



и путь черепахи



Каждому отрезку пути a/kn, пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок a/kn+1, пройденный черепахой. Поэтому к моменту встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку a/kn, пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но кроме того, Ахиллес должен пробежать ещё один отрезок длины a, то есть он должен пройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, есть α, то получаем

1 + α = α

Историческое влияние
Это последнее затруднение «часть равна целому» явилось впоследствие предметом размышления Галилея, Николая Кузанского и многих других, которые давали этому парадоксу различные интерпретации. Чешский учёный Больцано в первой половине XIX в. установил, что любое бесконечное множество может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со своим собственным подмножеством. Теперь это свойство иногда применяется в качестве определения бесконечного множества.

Источник — http://ru.wikipedia.org/wiki/Ахиллес_и_черепаха